Цифра 1 и число 1: Урок 4. число 1. цифра 1 — Математика — 1 класс

Урок 4. число 1. цифра 1 — Математика — 1 класс

Математика, 1 класс

Урок 4. Число 1. Цифра 1.

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

1. Определять место числа один в ряду чисел при счёте.
2. Называть число один.
3. Писать цифру 1.
4. Соотносить цифру 1 и число один.

Глоссарий

Число 1 – это первое число натурального ряда чисел, которое обозначает количество предметов равное одному.

Цифра – это значок для обозначения количества предметов.

Ключевые слова

Число; цифра; количество предметов; счет предметов.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Волкова С. И., Степанова С. В. Математика. Учебник. 1 кл. В 2 ч. М.: Просвещение, 2017.

2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь. 1 кл. В 2 ч. пособие для общеобразовательных организаций. Просвещение, 2017.

3. Моро М. И., Волкова С. И. Для тех, кто любит математику. 1 класс.

На уроке мы узнаем с какого числа начинается счет предметов, каким значком на письме обозначается один предмет.

Научимся писать цифру 1, использовать этот знак для обозначения одного предмета.

Сможем соотносить цифру 1 и число один.

Основное содержание урока

1. Брат и сестра прибежали с прогулки на полдник к бабушке.

Бабушка приготовила вкусные пирожки и фрукты и разложила для каждого на тарелки.

Оля взяла пирожок, а Петя — ватрушку. Каждому досталось угощение.

2. Что лежит на тарелке? (На тарелке лежит банан)

Какое количество бананов лежит на тарелке? (На тарелке лежит один банан)

Это угощение для бабушки.

Если видите один предмет, то можно начать счёт: один.

Каждому сегодня досталось на полдник по одному угощению.

На каждой тарелке был изображён ОДИН предмет.

Если количество предметов равно одному, то можно изобразить на схеме одной фигурой:

один треугольник или один кружочек.

Можно показать в количестве одного любого предмета, например, один карандаш, если на рисунке изображен один предмет, и сказать: «один цветок», «одна луна», «один кубик», «одно солнце».

Сколько предметов на рисунке? Ответьте полным ответом и покажи один карандаш при этом.

(На рисунке одна роза, покажу один карандаш)

Сделаем вывод: на каждом рисунке изображён ОДИН предмет.

Для любого рисунка с одним предметом можно ввести схематическое обозначение.

(одна точка в рамочке)

А для записи количества предметов используется специальный значок, который называется цифра.

Число один записывается цифрой 1.

Вот один иль единица,
Очень тонкая, как спица.

Нарисуем один треугольник.

(От точки рисуется одна сторона, потом вторая сторона и третья)

Сколько треугольников нарисовали? (ОДИН)

Какой цифрой на письме обозначим количество треугольников? (цифрой 1)

В числовом ряду число один стоит первым. Этот начало натурального ряда чисел.

Представим натуральный ряд чисел.

Выполним задание. В вазе стояла одна роза. Папа подарил ее маме. Сколько роз у мамы?

Можно ответить устно: У мамы одна роза.

Можно одну розу обозначить на схеме числовой фигурой:

А можно записать цифрой 1. Для этого научимся писать цифру 1.

Печатная цифра пишется без наклона.

А письменная цифра 1 имеет наклон.

Находим середину клетки.

Начинаем писать с середины клетки и ведём ровную линию в правый верхний уголок. Затем ведём руку на середину нижней стороны клетки.

Между цифрами оставляем пустую клетку и снова найдём середину клетки.

Диктуем при письме: «Веду ровную линию в правый уголок и вниз ровную линию на середину нижней стороны клетки».

Можно выполнить под счёт: от середины в уголок – раз, из уголка на середину – два…

Сколько яблок приготовила бабушка для угощения?

(Верно, много яблок приготовила бабушка)

Разбор типового тренировочного задания

Семья Афоновых собирались на дачу. Папа клал в большую коробку сразу много предметов, а Вера в маленькую коробку собирала по одному предмету.

Определите, какие предметы положили папа и Вера в коробку.

Карточки с рисунками:

одно яблоко

много карандашей вместе

один кубик

много зерна

один робот

много конфет

Один

Много

Много. Один. Число и цифра 1. | План-конспект занятия по математике (1 класс) на тему:

Тема: Много. Один. Число и цифра 1.

Ход урока

1.Организационный момент.

Прозвенел звонок весёлый.

Стал учитель у доски.

Мы урок начать готовы.

     Мы теперь — ученики.            Е. Ларисова

2. Актуализация знаний.

1)Сказка 

— В некотором царстве, в некотором государстве жили-были числа. Каждое число жило само по себе. Не было у них никакого порядка. Поэтому числа ссорились между собой. Но однажды в царстве появился Добрый Волшебник. Он решил навести порядок. Поставить числа в порядке возрастания: 3,5,7,9. Потом Волшебник встретил числа: 2,6,4. Оказалась, числа можно построить так, чтобы каждое следующее было больше предыдущего на единицу.

Что должно было получиться?

2,3,4,5,6,7,8,9.

Вдруг из домика выскочил бублик:

— Возьмите меня в свой ряд!

— Как тебя зовут? – спросил Волшебник.

— Нолик,- ответил  бублик.

Что ты умеешь? – продолжил Волшебник.

— Я многое умею. Я могу дружить со всеми числами и знаю,  как любое число сделать большим-пребольшим, — похвастался Нолик.

— Раз ты умеешь делать такие чудеса, мы поставим тебя самым первым, — обрадовал его Волшебник.

Чисел стало на одно больше. Ряд получился такой: 0,2,3,4,5,6,7,8,9.

Вдруг числа услышали чей-то плач. Как вы думаете, кто мог плакать?

Конечно же, число один.

Вот один иль единица.

Очень тонкая, как спица.

Похожа единица на крючок,

А может на обломанный сучок. Г. Виеру

— Где должно стоять число один? (Верно, после ноля)

     — Вот и пришли  числа к согласию. У каждого есть своё достойное место.

2) Устный счёт

— Сегодня, ребята, Добрый Волшебник поможет нам путешествовать по стране Математика.

— Давайте посмотрим, что он нам приготовил?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

— Сколько карточек? (10)

— Какое число первое? (0)

— Какое число последнее? (9)

— Какое число стоит за числом 1? (2)

— Назовите число, следующее за числом 2. (3)

— Давайте посчитаем вместе. (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

— Сколько точек на пятой карточке? (4)

— Какое число предшествует числу 3? (2)

— Назовите соседей числа 7. (6 и 8)

Дима слив в саду нарвал

И ребят он угощал:

Одну сливу дал Наташе,

Одну – Лене, одну —  Саше.

Две осталось у него.

Сколько было слив всего?

— Росли две вербы, на каждой вербе – по две ветки. На каждой ветке – по две груши. Сколько  всего груш?

— Ни одной, так как на вербе груши не растут.

— Молодцы! Вы хорошо справились.

3) Подготовка к восприятию нового материала

— Миша взял с собой Дашу и они отправились в лес за грибами.

— Даша собрала полную корзину грибов, а Миша один.

— Сколько грибов нашёл Миша? (Правильно, один)

— Сколько грибов нашла Даша? (Конечно же, много)

— Назовите фигуры, которые появляются.

— Прямоугольник, круг, квадрат, треугольник.

— Сколько всего фигур? (четыре)

— Как можно сказать по-другому? (Много)

— Убираем 1 прямоугольник. Сколько осталось? (три)

— Убираем 1 квадрат. Сколько фигур осталось? (две)

— Убираем 1 круг. Сколько осталось фигур? (Один треугольник)

— Сегодня у нас необычный урок. Он будет посвящён жителю страны Математика – числу и цифре один.

— Мы будем вспоминать всё, что связано с единицей, будем считать, решать примеры и задачи, узнавать новое и помогать друг другу.

4) Формирование знаний

Тонкая, как спица,

Цифра ЕДИНИЦА.

От неё ведётся счёт,

И за это ей почёт.

Что же уместиться

Может— целый шар земной,

Он один у нас с тобой.         В.Орлов

— В чём разница между цифрой 1 и числом 1?

— Число  считаем  и  слышим, цифру пишем и  видим. Число  на бумаге  записывается  цифрой.

— Назовите соседей числа 1.

— Верно. 0 и 2

Это интересно!

Особым почитанием были окружены числа в Древней Греции. Философ и математик Пифагор утверждал, что «числа правят миром». Числа, считал он, несут с собой добро и зло, счастье и несчастье. Единица почиталась особо и была символом славы и могущества. Она означает человека активного, смелого,  храброго. Единицу относят к  именам: Вера, Наташа, Оксана, Толя, Костя, Илья, Слава.

Вам повезло, ребята, хорошее и счастливое у вас число.

— Число один показать можно по-разному. Кто-то сказал, что можно показать одну палочку – это похоже на римскую цифру один. Такую цифру можно встретить в книгах для обозначения глав. В жизни чаще используют арабскую цифру 1.

— Где можно встретить такое обозначение?

— Такое обозначение мы можем встретить в номере квартиры, дома, номере маршрута на автобусе, на гире, на пакете молока, на часах, на линейке, на календаре.

Физкультминутка для пальчиков^[a]

Этот пальчик – дедушка,

Этот пальчик – бабушка,

Этот пальчик – папочка,

Этот пальчик – мамочка,

Этот пальчик – я,

Вот и вся моя семья!

Формирование знаний

— Посмотрите на цифру 1. На что она похожа?

— Попробуйте выложить при помощи палочек, ниточки и геометрического материала цифру 1.

— Посмотрите, что получилось на экране.

-Это мы изобразили печатную цифру 1, а есть ещё прописная. Сейчас мы поучимся её писать. Но прежде чем писать вспомним правило посадки.

Я тетрадочку открою,

Уголочком положу.

Я от вас, друзья, не скрою –

Ручку я вот так держу!

Сяду прямо, не согнусь,

За работу я возьмусь.

— Цифра 1 состоит из 2-х элементов: две наклонные палочки, малая и большая.

— Начинаем писать малую наклонную палочку с середины клетки и ведём её в верхний правый угол. Затем пишем большую наклонную палочку от верхнего правого угла до середины нижней стороны клетки.

Прописываем два раза. Затем ещё три раза.

3. Закрепление знаний

— Давайте продолжим свою работу. Добрый Волшебник хочет познакомить вас с ещё одним правилом математики.  1 —  волшебница. Оказывается, если к любому названому числу прибавить единицу, то получится последующее число. Если из любого названого числа вычесть единицу, то получится предшествующее число. Проверим это правило?

1)Сказка

ЕДИНИЦА шла-шла

И ещё одну нашла.

Ухватила бойко,

Превратились вместе в ….*^[b]   (двойку)

ДВОЙКА С ЕДИНИЦЕЮ

Сотворила чудеса,

Поглядите, что за птица

Полетела в небеса?…  (тройка)

ЕДИНИЦА, как стрела,

Мигом ТРОЙКУ догнала.

Выстрел меткий, точно в тире.

Превратилась ТРИ  в …. (четыре)

Цифра сильная – ЧЕТЫРЕ,

Выжимать умеет гири,

Поднимает целый пуд,

А ЕДИНИЧКА тут как тут:

– ЧЕТВЁРКА, я с тобой дружу.

Хочешь, фокус покажу?

ЕДИНИЧКА её хвать!

Превратила в цифру …  (пять)

ПЯТЬ у звёздочки концов.

ПЯТЬ в скворечнике птенцов.

Вдруг примчалась ЕДИНИЦА,

Единица-озорница.

Скачет, забавляется,

К цифрам прибавляется и  …(шестёрка) получается.

Вот ШЕСТЁРКА в дом стучится,

Дверь открыла ЕДИНИЦА:

– Проходите, проходите!

Ой, ребята, поглядите!

Ведь ШЕСТЁРКИ нет теперь,

А… СЕМЁРКА входит в дверь.

– Что с тобою, цифра СЕМЬ,

Что сгорбилась совсем?

– Единицу я ищу,

Стать …ВОСЬМЁРКОЮ хочу.

Цифра ВОСЕМЬ – два колечка –

Выбегает на крылечко.

Поскакала вперевалку,

Зацепилась за палку.

И упала, и пропала?

Нет, она… ДЕВЯТКОЙ стала.

По тетрадке, как лошадка,

Скачет весело ДЕВЯТКА.

ЕДИНИЧКУ к ней приделать –

Будет палка и кружок.

Было ДЕВЯТЬ – стало … ДЕСЯТЬ.

Молодчина ты, дружок!   О. Горемыкина

Физкультминутка

-Добрый Волшебник  предлагает отдохнуть.

Закрепление знаний  

2)В стране фигур. 

— Назовите фигуры.  

— Квадрат, треугольник, прямоугольник, круг.

— Сколько квадратов? (один)

— Сколько треугольников? (один)

— Сколько прямоугольников? (один)

— Сколько кругов? (один)

— Назовите предмет, который нарисован из данных фигур. (Правильно, это скворечник).

3) Игра « Отыщи»

— Какие единичные предметы нас окружают?

(Одна дверь, одно окно, один журнал, одна указка, один учитель и т.д.) *^[d]

-Проверьте, все  ли предметы на слайде изображены по одному

— Конечно, все предметы изображены по одному, кроме цветов, которых на слайде два.

— Назовите предметы вокруг нас, которых много.

— Проверьте на слайде количество предметов.

— Верно. Бабочка на слайде одна, а остальных предметов много.

4) — Какое слово спряталось?

Первая цифра стоит в середине,

Буква с начала и буква с конца.

В целом  – леса, горы, равнины,

К  целому полны любовью сердца. 

– Это слово Родина.

4.Подведение итогов.

— Добрый Волшебник благодарит вас за интересный урок.

— Вы теперь знаете, что число 1 мы слышим и произносим, а цифру 1 мы пишем и видим. В правой  руке у Волшебника прописная цифра, а в левой  печатная. Правда, ребята?

— Он предлагает  последнее задание.

Пословица «И один в поле воин».

— Как вы её понимаете?  

— Каждый способен на великие дела.

— Дело в том, что любой человек ценен и важен. От каждого из нас зависит, каким будет наш класс, наша школа, страна. По каждому из вас судят о вашей семье, школе и всём обществе в целом.

Знаменитый математик Пифагор не случайно приписывал числу один великую силу. Он считал, что число один символизирует единство.

5. Рефлексия.

— Вот пришла пора прощаться с Добрым Волшебником. Давайте подарим ему свои улыбки.

[a]Здесь вижу по образцу уроков, чтоя присылал. Там была недоработка, я забыл уточнить. Следует взять блок Физкультминутка как заголовок в рамку, а все остальное (если нужно читать вслух, как тут) писать вне блока (так как в блоке диктор ничего не читает).

Комментарий, что делают дети, оставить серым цветом для учителя. Остальное сделать черным.

[b]Вот тут можно без ПАУЗЫ В ВИДЕО, так как скажут сразу ответ скорее всего. Проверить везде.

[c]Левый столбик черным – правый столбик серым (для учителя). Все вынести за блок [Физкультминутка]

[d]Серым – подсказка для учителя

Вместо паузы 5 секунд – ПАУЗА В ВИДЕО

Цифра и число 1 — Kid-mama

Содержание:

1. Понятия «один» и «много»
2. Цифра 1
3. Онлайн игра  «Цифра 1. Помоги машинке собрать груз»
4. Прописи «Цифра 1».

Понятия «один и много».

Посмотри на картинки и скажи, что на них изображено:

В мире чего-то может быть много, а что-то — одно. Например, Солнце — одно, луна — одна, а звёзд — много. У дерева ствол — один, а веток и листьев — много. Много яблок на яблоне:

На голове волос много, а нос один, и рот один. Подумай, чего ещё много, а что одно.

В математике понятие «один», а также «одна», «одно» обозначается цифрой 1. У цифры 1 есть и другое имя — единица.

Цифра 1.

Запомни, как выглядит цифра 1. Обведи её пальчиком. Начинай обводить с «носика» (на горочку и вниз). Слепи цифру 1 из пластилина. На что она похожа?

С хитрым носиком сестрица
Счёт откроет
…Единица

 Скачать карточки с цифрами для малышей с нашего сайта

Давай проверим, хорошо ли ты запомнил, как выглядит единица.  Поиграем в игру. В этой игре нужно помочь машинке собрать груз. Перетащи все коробки с цифрой 1 на белую полоску!

Цифра 1. Онлайн игра

А теперь давай потренируемся писать цифру 1. Мы нарисовали для тебя целых три прописи.

Прописи с цифрой 1.

Начни обводить с крупных прописей (оранжевых), затем можно обводить наклонные (синие) прописи.  А если тебе скоро в школу, учись писать цифру 1 на листе в клеточку (зелёная пропись). Все прописи с цифрой 1 можно скачать с нашего сайта одним архивом по ссылке внизу.

Крупные прописи для малышей «Цифра 1».

Наклонные крупные прописи с цифрой 1Прописи «Цифра 1» на листе в клетку.

Число 1 | Математика, которая мне нравится

Пишите об интересных свойствах числа . Картинки приветствуются! Следующие свойства числа прислал Лейб Александрович Штейнгарц.

1. Число 1 сильно отличается от других чисел при умножении и при делении.

2. При возведении в первую степень показатель степени обычно не пишется

3. Число 1 при возведении в любую степень остается самим собой.

4. Число 1 — наименьшее натуральное число.

5. Число 1 — единственное натуральное число, которое не является ни простым, ни составным.

6. Число 1 — это единственное число, которое в последовательности Фибоначчи встречается дважды.

7. В самом первом стихе Торы (Библии) встречается число ОДИН: В начале сотворил Б-г небо и землю. Земля же была пуста и хаотична, и тьма над бездною; и дух Б-жий витал над водою. И сказал Б-г: да будет свет. И стал свет. И увидел Б-г свет, что он хорош; и отделил Б-г свет от тьмы. И назвал Б-г свет днем, а тьму назвал ночью. И был вечер, и было утро: день ОДИН.

8. Число ОДИН является частью слова РОДИНА. Слова, которое является очень важным для каждого человека.

9. Две различные прямые могут иметь лишь ОДНУ общую точку.

10. Наибольшим значением функций синус и косинус, является число 1. 11. Следующая красивая задача, автором которой является физик Герцен Копылов, имеет непосредственное отношение к числу . Дан правильный -угольник, вписанный в окружность единичного радиуса. Одна из его вершин соединяется отрезками со всеми остальными. Докажите, что произведение длин всех этих отрезков равно .

Во-первых, в задаче речь идет именно о ЕДИНИЧНОЙ окружности. Во-вторых, в двух решениях, которые можно найти здесь: http://hijos.ru/2013/01/16/zadacha-o-pravilnom-mnogougolnike/ и здесь: http://hijos.ru/2013/01/17/zadacha-o-pravilnom-mnogougolnike-bolee-prostoe-reshenie/, ЕДИНИЦА ярко себя проявляет.

12. Среди всех натуральных чисел имеется ЕДИНСТВЕННОЕ простое четное число.

13. Среди всех действительных чисел имеется ЕДИНСТВЕННОЕ, квадрат которого не будет положительным.

14. Среди всех действительных чисел имеется ЕДИНСТВЕННОЕ, модуль (абсолютная величина) которого не будет положительным.

15. На плоскости из любой точки всегда можно провести ЕДИНСТВЕННЫЙ перпендикуляр к данной прямой.

16. ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА.
Через любую точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести, причем ЕДИНСТВЕННУЮ, прямую, параллельную данной.

17. В любой треугольник всегда можно вписать ЕДИНСТВЕННУЮ окружность.

18. Вокруг любого треугольника всегда можно описать ЕДИНСТВЕННУЮ окружность.

19. Через любую точку окружности всегда можно провести ЕДИНСТВЕННУЮ касательную к этой окружности.

20. Предположим, что имеется некоторый многочлен, который не до конца упорядочен. Например,

и требуется найти сумму всех коэффициентов того многочлена, который получится после раскрытия всех скобок и приведения всех подобных слагаемых.

Оказывается, для этого вовсе не нужно раскрывать скобки, а достатчно подставить число 1 вместо переменной в исходную формулу:

А вы сможете объяснить, почему этого вполне достаточно?

21. Когда-то была очень популярна (да и сейчас, пожалуй, такой остается) песня, которую исполняла замечательная певица Анна Герман (стихи М. Рябинина, музыка В. Шаинского) “Один раз в год сады цветут”.

В этой песне много раз в припеве повторяется слово ОДИН.

22. 1 января — первый день Нового года.

23. 1 сентября – День знаний, начало учебного года.

24. 1 апреля – День смеха.

25. 1 мая — Первомай.

Другие названия: День труда, День весны, Праздник весны и труда, День международной солидарности трудящихся. Отмечается в 142 странах.

26. Этот арифметический ребус имеет единственное решение. Постарайтесь расшифровать его.

Показать решение

27. Этот арифметический ребус имеет единственное решение. Постарайтесь расшифровать его.

Показать решение

28. Этот арифметический ребус имеет единственное решение.
Какое?

Показать решение

29. Цифра 1 расположена на той же кнопке клавиатуры компьютера, на которой расположен символ факториала, очень похожий на единицу.

30. Масштаб показывает, во сколько раз каждая линия, нанесенная на карту или чертёж, меньше или больше её действительных размеров. Масштаб записывают в виде частного, в котором делимым всегда является ЕДИНИЦА, а делителем — некоторое число.
Например, масштаб

показывает, что 1 см на плане соответствует 5 000 см (50 м) на местности.

31. При помощи ЕДИНИЦ можно составить следующую цепочку красивых равенств:

32. Самое главное место на пьедестале почета — ПЕРВОЕ.

33. Лишь для одного комплексного числа имеется особое общепринятое название – МНИМАЯ ЕДИНИЦА.

34. Приведённым квадратным уравнением называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен ЕДИНИЦЕ.

Аналогично определяется приведенное уравнение произвольной степени.

35. Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно ЕДИНИЦЕ.

Единственное положительное число, которое равно своему обратному, это число ОДИН.

36. В теории групп одним из основных понятий является ЕДИНИЧНЫЙ элемент.

37. Цифра 1 чаще всех встречается на циферблате часов.. Все остальные цифры, кроме цифры 2, имеются по одному разу. Цифра 2 встречается дважды. И лишь ЕДИНИЦА повторяется — 5 раз.

38. В пункте 7 данного раздела (про число 1) уже говорилось о том, что в самом первом стихе Торы (Библии) встречается число ОДИН:

И назвал Б-г свет днем, а тьму назвал ночью. И был вечер, и было утро: день ОДИН.

В связи с этим предлагаем распутать два арифметических ребуса.

ПЕРВЫЙ РЕБУС
При условии, что число ОДИН является нечетным.

ВТОРОЙ РЕБУС
При условии, что в этом равенстве не должно быть ни одного нуля.

Показать решение

ПЕРВЫЙ РЕБУС

ВТОРОЙ РЕБУС

39. Логарифмы бывают с любым положительным основанием, кроме ЕДИНИЦЫ.

40. Через любую точку сферы проходит  ЕДИНСТВЕННАЯ касательная плоскость.

41. Наберите на простейшем калькуляторе любое положительное число. После этого нажмите много раз на клавишу с КВАДРАТНЫМ КОРНЕМ. Убедитесь, что, независимо от того, какое число вы набрали, через достаточно большое количество нажатий на калькуляторе останется одно-единственное число 1, которое и будет оставаться при дальнейших нажатиях.

42. Имеется много пословиц и поговорок, в которых встречается слово ОДИН. Например:
• Семь раз отмерь, ОДИН раз отрежь.
• ОДИН в поле не воин.
• Семи смертям не бывать, а ОДНОЙ не миновать.
• ОДИН за всех и все за одного.

43. При условии, что число ONE – нечетное, предлагаем распутать такой арифметический ребус.

Показать решение

44. ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА — это квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны ЕДИНИЦЕ, а остальные равны нулю.

45. Во многих разделам математики очень важное значение имеют ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ.

46. Амёбы – род микроскопических ОДНОКЛЕТОЧНЫХ организмов.

47. Следующие великие композиторы сочинили за всю жизнь ровно по ОДНОМУ концерту для скрипки с оркестром:

48. Следующие великие композиторы сочинили за всю жизнь ровно по ОДНОМУ концерту для фортепиано с оркестром.

49. Прима-балерина (лат. prima – ПЕРВАЯ, ballerina – балерина) — ведущая солистка балета в театре.

Прима-балерина — это самый высокий профессиональный статус солиста балета в балетных труппах мира.

50. Примадонна (от итал. prima donna, ПЕРВАЯ дама) – певица, которая исполняет первые партии в опере или оперетте. Близким понятием является “дива”.

51. Премьера (фр. première — ПЕРВАЯ) — означает “первый показ”, “первое представление”. Слово чаще всего применяется к театру или кино.

52. ПЕРВАЯ СКРИПКА.
Приходишь на симфонический концерт, и тебя встречает первоначальный хаос звуков – оркестранты настраивают свои инструменты. Как они достигают единства? Они прислушиваются к ясно звучащей ноте ля, а дает ее оркестру “ПЕРВАЯ скрипка”! Поэтому после исполнения любого произведения, когда на исполнителей обрушивается гром аплодисментов, дирижер оркестра благодарно и демонстративно пожимает руку “первой скрипке”. Такова традиция.

Великого скрипача Яшу Хейфеца однажды спросили:

— Это правда, что вы “первая скрипка” мира?

— Что вы! Я — вторая.

— А кто первая?

— О, первых много…

53. Премьер-министр (от фр. le premier – ПЕРВЫЙ) — первый, главный министр, глава правительства в странах, где эта должность отделена от поста главы государства.

54. Приматы (лат. Primates, от primas, букв. ПЕРВЫЕ) – один из наиболее прогрессивных отрядов млекопитающих, включающий, в том числе, обезьян и человека.

Разработка урока «Число и цифра 1»

Тема. «Число и цифра 1».

Цели. Познавательные: учить узнавать и называть цифру 1, обозначать один предмет цифрой 1, находить цифры в окружающей обстановке, объяснять их смысл; формировать представление о том, что через одну точку можно провести много прямых; творческие: формировать умение отгадывать загадки и обосновывать свою точку зрения в обосновании пословицы «И один в поле воин» и формулировать положение о том, что через одну точку можно провести много прямых.

ХОД УРОКА

1. Актуализация знаний

1. Учимся считать в пределах 10.

 А) На доске выставляются числовые карточки, которые будут помогать детям вести счет и отвечать на разные вопросы.

– Сколько карточек? Какое число первое? Какое число последнее? Какое число стоит за числом один? Назовите число, следующее за числом два. Давайте посчитаем хором. Покажите пятую карточку. Сколько точек на пятой карточке? Сколько точек на седьмой карточке?

Б) Работа с геометрическим материалом.

( угол, луч, точка, прямая и т.д.)

2.Работа по теме урока.

Игра «Отгадай-ка!».

— Отгадайте загадки.

Один костер 
Весь мир согревает. (Солнце.)

 Ночью по небу один гуляет,
Тускло землю освещает (Месяц)

Кто один имеет рог?
Отгадайте…  (Носорог).

 Между двух светил

Посередине один. ( нос)

 — Что объединяет все эти загадки? Какое число есть в каждой загадке?

 — Число один.

 — Число один – это тема сегодняшнего урока.

III. Открытие нового знания

— Что у вас связано с числом 1? У кого-то день рождения 1 июня, кто-то живет в доме № 1 и т.д. Кто-то скажет, что у меня один нос.
Как показать число 1? Одним пальцем на руке, одной палочкой, числовой фигурой, домино, цифрой.

Вывод. Число один показать можно по-разному. Вы показали одну палочку – это похоже на римскую цифру 1. Такую цифру мы можем встретить в книгах для обозначения глав. Кто-то сказал о первой букве алфавита, и действительно старославянское написание числа 1 – это буква А с волной сверху, которую называют титло. Кто-то узнал цифру 1 – это арабская цифра. Кто-то показал числовую фигуру с одной точкой, и такое обозначение тоже используется.

Посмотрите на цифру 1 и послушайте, как ее описал поэт Г. Виеру:

Похожа единица на крючок,
А может, на обломанный сучок.

– Где можно увидеть цифру 1?

Дети отвечают.

(На гири написано 1 кг. На пачке с молоком написано 1 л. На деньгах – 1 тенге, на автобусе – номер маршрута, по которому едет автобус. На часах. Часовая стрелка указывает 1 час – время. 1 см на линейке. Это может быть номер дома или квартиры. На календаре – это число.

—  Попробуйте изобразить цифру 1. Дети с помощью проволоки выгибают 1, написать в воздухе или сложить из палочек, показать пантомиму, то есть с помощью собственного тела показать цифру 1.

Физминутка

Только в лес мы все зашли,
Появились комары.
Руки вверх – хлопок над головой.
Руки вниз – хлопок другой.
Дальше по лесу шагаем,
И медведя мы встречаем.
Руки за голову кладем
И вразвалочку идем.
Вдруг мы видим у куста
Птенчик выпал из гнезда.
Тихо птенчика берем
И назад в гнездо кладем.
Зайчик быстро скачет в поле,
Очень весело на воле.
Подражаем мы зайчишке,
Непоседы-ребятишки.

Практическая работа. Нужно взять листок бумаги. Поставить на нем точку. Согнуть листок так, чтобы линия сгиба прошла через данную точку. Еще раз согнуть лист, чтобы линия сгиба прошла через данную точку. Сколько прямых может проходить через данную точку?

—  Много.

—  Сколько точек на рисунке?

—  Одна.

—  Сколько прямых можно провести через одну точку?

—  Много.

Вывод. Через одну точку можно провести много прямых.

IV. Работа по учебнику( с. 18)

— Рассмотрите внимательно первый рисунок. Сколько яблок лежит в тарелке?

 – А сколько жёлтых яблок?

— Сколько груш лежит в тарелке?

— А сколько зелёных груш?

А теперь давайте сложим в коробочку только те фрукты, которых у нас по одному.

(апельсин, вишня, груша)

5. Работа в тетради.(с.19)

Открыли тетради. Посмотрите  на рисунок, и скажите, кто изображён на этом рисунке?

— сколько котят?

— сколько щенят?

— сколько попугаев?

— сколько зайчат?

— Сколько груш нарисовано на рисунке?

— первую грушу раскрасим зелёным цветом, а все остальные жёлтым.

Письмо в тетради.

Первая строчка прямая с наклоном.

Вторая строчка письмо цифры 1.

 6. Итог урока                                                                                                                                 Великий математик Пифагор приписывал числу один великую силу. Он считал, что число один символизирует единство.
Какое основное понятие мы изучали на уроке?

Число и цифру 1.

Почему цифра 1 счастливая? Число 1 в карме человека

Привет наш дорогой читатель! Сегодня вы в гостях у Пифии. Предлагаем вам погрузиться в изучение тонкого мира, мира непознанного и непознаваемого, того, что в концепции Дона Хуана имеет название Нагваль…

Числа преследуют нас везде: на номерах машин, в мобильном номере, на значке квартиры или дома, а иногда они даже являются нам во сне. Что это может означать: обычное совпадение или знак свыше? А если это так, то как растолковать полученные знаки? Считается, что цифры, которые преследуют нас в жизни — это послание от Ангела-хранителя. Стоит лишь вовремя, но самое главное, верно разгадать посланное сообщение.

Цифра 1 встречается в жизни у многих. Для кого-то это число судьбы, а для кого-то это дата их рождения. А кого-то и вовсе по жизни преследуют одни комбинации из единиц. Однако, во всех случаях она считается символом начала, первенства.

Число 1 в нумерологии — это живительная энергия, сила, мощь, всеединство, воля и лидерство. Единица — это начало всех начал, это Бог и то самое событие, которое дало начало всем остальным. Её связывают с мгновением Большого Взрыва, а в религии с божественными деяниями. Если единица стала преследовать вас в жизни — это неспроста.

Характеристика цифры 1. Ангельская нумерология

Цифра 1 – число всего нового. Именно с него начинается проявление всего сущего. Это энергия, которая даёт начало всему.

Единица — символ начала нового проекта, решительность и смелость, стремление к лучшему. Любое число делится на единицу. Все мы — едины.

Когда вас начинает преследовать единица — это ангелы пытаются призвать пересмотреть свои мысли, а также сосредоточиться на воплощении положительных желаний.

Преследует цифра 1

В ангельской нумерологии число 1 сообщает о новых проектах, изменениях. Таким образом, ангелы пытаются дать руководство человеку и независимость в новых действиях, начинаниях.

Если число 1 возникает часто и регулярно — это указывает на открытие энергетических ворот, которые позволят мыслям быстро реализовываться в реальности. Так ангелы пытаются предупредить, что теперь мысли реальны, поэтому необходимо следить за тем, чтоб они совпадали с истинными желаниями.

Если вас часто преследуют две повторяющиеся единицы 11 – это говорит о кармическом значении. Ваше истинное «Я» знает обо всём. В своём послании ангелы пытаются донести, что необходимо прислушиваться к своему глубинному Я — оно поможет избежать ряда препятствий в жизни.

Суть послания повторяющихся единиц 11 – это развитие интуиции, ясновидения, духовных, физических способностей. 11 – это просветление, это повторяющиеся мысли в голове, которые являются ответами на многие насущные вопросы.

Если вас просто преследует комбинация из трёх единиц 111 – это говорит о необходимости быть осторожным, а также контролировать свои мысли.

Чаще всего встречается комбинация 1111, особенно на часах. Повторяющиеся 11:11 указывают на возможность гениального открытия. Так ангелы пытаются сказать, что любые мысли — материальны, поэтому стоит тщательно «просеять» их, избавиться от негативного мышления.

Время 11:11 на часах говорит о том, что нужно использовать только положительные мысли для реализации своих давних желаний.

Посылая комбинацию 1:11 на часах, ангелы пытаются сказать о том, что ваши мысли правильные, а ответ на вопросы находится на поверхности. Комбинация 1:11 – это просветление, вспышка в голове. Это счастливый знак того, что вы не одиноки, а также будете вознаграждены за все свои старания.

Повторяющиеся единицы — удачливый знак, который предрекает хорошие изменения.

Человек цифры 1

Человек цифры 1 – прирождённый лидер и рассудительная натура. Такой личности всю жизнь придётся брать ответственность на себя за принятие решений.

Число 1 предрекает постоянную борьбу за местом под солнцем. Всё, чего такой человек добьётся в жизни — это результат его упорного труда, настойчивости.

Человеку-единице редко попадаются на пути надёжные люди, на которых можно рассчитывать. Но это подстёгивает учиться доверять только себе.

Единица в коде судьбы учит тому, что нельзя привязываться к людям, ведь ничего хорошего такая привязанность не приносит. Часто близость с людьми приносит единице разочарование, обиду.

Человеку-единице стоит усмирить свой лидерский характер там, где его быть не должно: в семье, в любовных или дружеских отношениях. Роль лидера следует использовать только на работе, где она явно принесёт успех.

Число 1 свидетельствует о том, что на личность возложена некая миссия, которую рано или поздно придётся исполнить.

Положительным качеством цифры 1 является смелость, решительность мышления. Для него не существует «авторитетного мнения» — такой человек никогда не возьмёт чужой опыт за основу собственных действий, заключений.

Если единица что-то знает, то только благодаря своему личному опыту. Отсюда исходит оригинальность, смелость идей, находчивость, а также умение убеждать других.

Цифра даты рождения 1

Например вы родились 01.11.1987, ваше число даты рождения – это сумма 0+1+1+1+1+9+8+7= 28= 2+8 = 10=1+0=1 – число рождения.

Цифра даты рождения 1 – это число личности, способной мгновенно реагировать на любые изменения. Это человек-действия, лучшими чертами которого становятся пытливый ум, находчивость, способность быстро адаптироваться под любые обстоятельства.

Такие качества позволяют рождённому под цифрой 1 становится лидером в какой-то одной области, а также вести за собой других.

Число имени 1

Число имени или фамилии рассчитывается путём сложения между собой определённых цифр, которые соответствуют каждой букве:

Таблица в нумерологии пересчёта имени и фамилии в числа:

Например, имя Оксана — это сумма 7+3+1+1+6+1 = 19= 1+9 =10= 1+0=1 – число имени.

Люди с числом имени 1 – это изобретатели и первопроходцы, которые способны найти выход из любой ситуации. Всю свою жизнь такие люди отстаивают право на независимость и волю.

Это яркие, харизматичные натуры, которые действуют быстро, решительно и способны не только идти наперекор невзгодам, но и вести за собой других в экстремальных ситуациях. Они заслуженно занимают высокие посты, руководящие должности, становятся отличными предпринимателями или менеджерами.

Однако, единица наделяет не только безграничной уникальностью, но и гипотетическим одиночеством. Добиться внутренней и внешней гармонии по силу лишь некоторым. Считается, что цифра 1 не имеет пару, поэтому найти таким людям достойную вторую половинку крайне сложно.

Число фамилии 1

Число фамилии можно узнать аналогичным образом, как и число имени.

Число фамилии 1 – это символ успеха, лидерства. Люди с единицей в фамилии отличаются твёрдым характером, высокими амбициями. Там, где другие сворачивают с пути, единицы двигаются вперёд, достигая поставленных целей.

Люди с цифрой 1 в фамилии — самоуверенные, целеустремлённые личности, которые пришли покорять этот мир. Стремление к лидерству, активность, состоятельность проявляются у единиц с самого детства. Позже они становятся лучшими работниками, а также быстро поднимаются по карьерной лестнице. Людям с числом фамилии 1 свойственно внезапно менять планы, быстро переключаться с одного проекта на другой.

Число квартиры 1

Дом с числом 1 – это жильё сильных, независимых, самоуверенных людей.

Вибрации единицы будут поддерживать в жильцах индивидуальность, стойкость, честность и решительность.

Квартира с числом 1 станет прекрасным домом для личных предпринимателей.

А также подойдёт для тех, кто устал от забот о других и ищет внутреннего равновесия.

Цифра 1 в номере телефона

Число номера телефона рассчитывается путём сложения всех цифр, включая код страны.

Например, +7 845 433 11 37 = 7+8+4+5+4+3+3+1+1+3+7 = 46 = 1+0 = 1.

Цифра 1 в номере телефона указывает на сильный характер, интеллект. А также придаёт уверенности своему хозяину. Единица обладает огромным потенциалом, который приносит удачу в карьере, положительно влияет на окружение, способствует проявлению лидерских качеств.

Единица в номере телефона помогает укрепить позиции на рабочем месте, наладить рабочий процесс. Владельцам цифры 1 в номере телефона покровительствует Солнце.

Значение по нумерологии цифры 1 в номере машины

Например, если номер вашей машины 316, необходимо сложить его между собой: 3+1+6 = 10= 1+0 = 1 – число вашей машины.

Цифрой 1 в номере машины управляет планета Солнце. Такой автомобиль подойдёт для представителей правительственных структур.

Вибрации числа увеличивают лидерские качества владельцев автомобиля, помогают им добиваться внушительных высот в карьере, придают бодрости.

Единица в номере машины поможет своему владельцу обзавестись нужными связями. Такие машины редко становятся участниками ДТП, а их ресурсность гораздо сильнее остальных. Цифра 1 в номере машины придаёт своему хозяину совестливости. Поэтому внутри такого авто лучше вести честные разговоры, дела.

Толкование цифры 1 в гадании

Гадая на кофейной гуще, обратите внимание на размещение цифры 1.

Если число расположено на левой стороне — вопрошающего ожидают семейные проблемы. А если на правой — изменения в отношениях ожидаются в благоприятном направлении.

Цифра 1 в гадании означает появление старых проблем, обид, тревожных тем. Вопрошающему необходимо снова вернуться в начало, чтобы закончить все нерешённые дела.

Сонник: к чему снится цифра 1

Если вам во сне явилась цифра 1 – это означает, что вскоре вы начнёте заниматься каким-то новым проектом.

Единица во сне указывает на то, что любые начинания начнутся так, как вы их задумали. Помимо этого, число 1 во сне может говорить о борьбе между вами и каким-то определённым человеком или группой людей.

Почему цифра 1 счастливая?

Цифра 1 – число действия, которому не страшны никакие преграды.

Тяга к исследованиям, которой обладает единица, заставляет её создавать новые эталоны, а за ними последуют другие — так до бесконечности.

Число 1 – лидер среди великих деяний, это символ нового. А единице лучше даются начинания, нежели завершение каких-либо действий.

Люди, рожденные под цифрой 1 – это абсолютные лидеры, которые должны стоять во главе самых перспективных дел, проектов.

Считается, что единица не нуждается в паре и больше склонна к одиночеству. Но для полного завершения, реализации всех задуманных планов, ей нужна поддержка и надёжное плечо.

Число 1 обладает магическим, сакральным значением. Она — начало всех начал. И если единица стала всё чаще появляться в вашей жизни — это знак, что вскоре произойдут положительные перемены, которые приведут к осознанию чего-то нового.

Читайте ещё:

_________________

Понятия «много», «один». Число и цифра 1

— Ежик, подожди, а что это ты палки какие-то
носишь? Дом что ли новый решил строить?

— Ой, Валик привет. Я тут палку одну нашёл,
которая на цифру похожа. Так вот хочу её зайцу показать.

— Палка, как палка. Ничего особенного.

— Да нет же. Смотри эта палка
похожа на цифру один.

— Я таких цифр не знаю.

— А я тебе сейчас расскажу. Только слушай
внимательно и запоминай. Итак, число и цифра один. Смотри вот у нас одна елка. В математике
одну елку можно обозначить числом один и записать специальным знаком, который
называется цифра. Так вот если речь
идет об одном объекте или предмете, то в математике этот объект или предмет
можно обозначить числом один. Например: один пень, одно яблоко, одна банка с
вареньем.

-
Валик, посмотри внимательно на картинку и ответь-ка ты мне на вопрос.

Сколько
здесь яблок?

-
Одно.

-
А сколько груш?

-
Так надо подумать. Одна груша, и вот еще одна, и еще…
в общем груш много, а яблок мало.

-
Правильно. Раз считать не умеешь, это самый лучший ответ. Так вот число один
считают самым маленьким числом, так как оно обозначат всего один предмет или
объект.

А
теперь я тебе покажу, как же можно записать число один цифрой. Смотри это число
записывается специальным математическим знаком или цифрой один. А на
листе цифра один обычно записывается в одну клеточку. Чтобы записать число один
цифрой надо: поставить точку ниже верхней линии клеточки примерно вот здесь, а
затем написать цифру следующим образом.

-
Интересно. А как-то мне научиться писать один.

-
А давай мы с тобой не напишем а сделаем из цветной
бумаги цифру один.

-
Сначала вырежем элементы. Потом приклеим на лист белой бумаги. Ну вот. Теперь у
нас получилось настоящая цифра один. Прямо как моя палочка.

Еще,
Валик, ты должен запомнить, что число один это самое маленькое однозначное
число, так как при его записи используют только один знак, а в тетради
записывают в одну клеточку.

Число
один это очень важное и нужное число. Во-первых, оно обозначает количество
объектов или предметов. Например: один барабан, один зонтик, один мяч.

Число
один может обозначать не только количество предметов или объектов, но и
показывать порядковый номер. Ты стоишь первый, а я после тебя. Значит ты первый
по счету, а я второй.

-
А почему это я первый? Может ты первый.

-
Обычно начинают считать слева на право. Это называется прямой порядок при счете.

Но
иногда считают и в обратном порядке,
т.е. с конца. В этом случае при счете я буду первый, а ты второй. Число один
очень нужное и важное. Во первых оно обозначает
количество, а во-вторых показывает порядковый  номер. Например: вот у тебя
один нос.

-
И у тебя один нос.

-
Правильно. А еще число один может обозначать номер при счете. Например: номер
дома, квартиры или маршрут транспорта: автобуса, троллейбуса, поезда.

Валик,
а теперь я хочу, чтобы ты выполнил одно мое интересное задание. Вот держи тебе
фотоаппарат. Побегай-ка ты по лесу и сфотографируй все объекты или предметы,
которые можно обозначить числом один. Можешь даже дом с номером чей-нибудь
сфотографировать.

-
Ой, как интересно. Ну я побежал.

-
Давай посмотрим, что у тебя получилось.

-
Вот. Это один дом дяди Филина. На нем даже есть цифра один.

-
Верно. Это значит, что в нашем лесу его дом стоит самый первый.

-
Здесь один горшок с кактусом, это я к белочке в гости заходил.

-
Вот одна бочка с медом, это мне медведь дал сфотографировать.

-
Валик, а ты молодец. Совершенно верно выполнил мое задание. А напоследок ты
должен запомнить.

1.
Число один обозначает самое
маленькое количество предметов или объектов.

2.
Число один обозначает номер и при
счёте мы называем его самым первым.

3.
Число один это самое маленькое
однозначное число и записывается цифрой в одну клеточку.

-
Ну, вот и все. Пойду-ка теперь Зайцу покажу, какая у меня есть интересная
палка.

Цифры, цифры и цифры

jkWMJVBmYL0

Номер

Число — это счетчик или измерение, которое на самом деле является идеей в нашем сознании.

Мы пишем или говорим о числах, используя цифр , например, «4» или «четыре».

Но мы также можем поднять 4 пальца или 4 раза постучать по земле.

Это разные способы обозначения одного и того же номера.

Существуют также специальные числа (например, π (Пи)), которые нельзя записать точно, но они по-прежнему являются числами, потому что мы знаем идею , стоящую за ними.

Число

Цифра — это символ или имя , обозначающее число.

Примеры: 3 , 49 и двенадцать — все числа.

Итак, число — это идея, цифра — это то, как мы его записываем.

цифра

Цифра — это единичный символ , используемый для составления цифр.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 — это десять цифр, которые мы используем в повседневных числах.

Пример: цифра 153 состоит из 3 цифр («1», «5» и «3»).

Пример: цифра 46 состоит из 2 цифр («4» и «6»).

Пример: цифра 9 состоит из 1 цифры («9»). Таким образом, одна цифра также может быть цифрой

.

Мы можем использовать и другие символы, например, в шестнадцатеричном формате также используются некоторые буквы!

Цифры -> Цифры -> Цифры

Таким образом, цифры составляют цифры, а цифры соответствуют идее числа.

Также как буквы составляют слова, а слова обозначают идею предмета.

Номер вместо цифры

Но часто люди (в том числе и я) говорят «Число», хотя им действительно следует сказать «Числовое» … неважно, если вы это сделаете, потому что другие люди вас понимают.

Но попробуйте использовать «цифру» только когда говорите об отдельных символах, составляющих цифры, хорошо?

Цифры и цифры других типов

Мы все привыкли использовать такие числа, как «237» и «99», но римляне использовали римские цифры, и на протяжении всей истории использовалось много других цифр и цифр.

10181, 10182, 10183, 10184, 10185, 10186, 10187, 10188, 10189, 10190

последовательностей и серий — Количество вхождений цифры 1 в числах от 0 до n

Итак, я откопал свои заметки по этой проблеме (для тех, кому интересно, это проблема проекта Эйлера № 156). Существует аналитическая форма для решения этой проблемы (но, увы, даже аналитическая форма слишком медленная, чтобы решить big ). проблема, которая требует поиска ВСЕХ чисел, которые удовлетворяют этому условию для ВСЕХ цифр 1-9).j \ delta_ {i-1, d})

долл. США

Вычислить число типа $ [4,1,2,4] $ не намного сложнее, мы просто перебираем последовательность $ [4,0,0,0] $, $ [3,0,0] $, $ [2,0] $, $ [4] $ по формуле из предыдущего абзаца. Однако приведенный выше метод будет неправильно рассчитан, потому что он игнорирует лишнее появление цифры 1 $ в диапазоне 4100–4124 $. Таким образом, на каждом этапе итерации мы должны убедиться, что нет никаких хвостов, которые мы забываем посчитать, что мотивирует термин $ \ delta_ {r_j, d} (n [j:] + 1) $.

Разрядное значение — объяснение и примеры

Что такое местная стоимость?

В математике каждое целое число в числе имеет разряд. Следовательно, значение места числа — это значение, представленное цифрой в числе, в зависимости от ее положения в числе.

В то время как разрядное значение — это значение, которое цифра удерживает на месте в числе, с другой стороны, номинальное значение цифры для любого места в данном числе является значением самого целого числа.

Диаграмма разряда — это диаграмма, которая помогает нам находить и сравнивать разряды цифр в числах и миллионах. Разрядное значение цифры в диаграмме разряда увеличивается в десять раз при сдвиге влево и уменьшается в десять раз при сдвиге вправо.

9015

Пример 1

Рассмотрим число: 24.3185

• Цифра 2 находится в разряде десятков и имеет значение 2 × 10 = 20
• Цифра 4 находится на месте единицы и имеет значение 4 × 1 = 4
• Цифра 3 находится на разряде десятых и имеет значение 3 × 1/10 = 3/10 = 0,3
• Цифра 1 находится в разряде сотых и имеет значение 1 × 1/100 = 1/100. = 0,01
• Цифра 8 находится в тысячных долях и имеет значение 8 × 1000 = 8/1000 = 0,008
• Цифра 5 находится в десятитысячных разрядах и имеет значение 5 × 10000 = 5/10000 = 0.0005

Следовательно, разрядное значение числа находится путем умножения номинальной стоимости и значения самого числа

Разрядное значение однозначного числа эквивалентно его номинальной стоимости. Например, разрядные и номинальные значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 соответственно.

Разрядное значение нуля в любом числе всегда равно нулю. Ноль может занимать любое место в числе, но его значение останется равным нулю.

Пример 2

В числах с нулями, таких как 105, 350, 42017,

, значение 0 в каждом номере равно 0.

Для двузначного числа разрядная цифра десятков в 10 раз больше цифры. Например, разрядная цифра 5 в числе 57 составляет 5 x 10 = 50, а разряд однозначного числа — 7 x 1 = 7.

Точно так же разрядное значение сотен цифр в трехзначном числе равно 100-кратному номиналу цифры. Например, разрядное значение 4 в числе 475 равно 4 x 100 = 400.
Таким образом, для разрядного значения цифры цифра умножается на разряд 1; это должно быть то место. Методы поиска и записи разряда любой цифры в числе проиллюстрированы ниже на различных примерах.

Пример 3

Запишите место каждой цифры в номере: 768;

• Разрядное значение 8 = 8 × 1 = 8
• Разрядное значение 6 = 6 × 10 = 60
• Разрядное значение 7 равно 7 × 100 = 700.

Мы можем резюмировать, что число имеет свою разрядную стоимость как произведение числа и разрядной стоимости единицы, которая находится в этой позиции.

Пример 4

Найдите разряд всех цифр в числе: 4129.

• Разрядное значение 9 равно 9 × 1 = 9
• Разрядное значение 2 равно 2 × 10 = 20
• Разрядное значение 1 равно 1 × 100 = 100
• Разрядное значение 4 равно 4 × 1000 = 4000

Пример 5

Запишите значение разряда цифр в 2965.

• Цифра 2 стоит на месте тысячи; следовательно, его место равно 1000 x 2 = 2000
• Цифра 9 соответствует разряду сотни, и поэтому значение разряда равно 9 x 100 = 900
• Число 6 находится в разряде десятков, поэтому значение разряда 6 = 6 x 10 = 60
• Число 5 занимает место единицы в числе 2965; следовательно, значение 5 равно 5 x 1 = 5

Пример 6

Запишите место цифр в следующем числе: 9721.

• Число 9 стоит на месте тысячи в 9721. Таким образом, разрядное значение 9 равно 9 x 1000 = 9000.
• Еще одно число 7 находится на месте сотни в 9721. Таким образом, разряд 7 равен 7 x 100 = 700.
• Число 2 стоит на разряде десятков. Итак, место 2 в числе 9721 равно 2 x 10 = 20.
• Число 1 занимает место единиц. И в этом случае его разрядное значение равно 1 x 1 = 1.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Числа до 5 цифр

Запятые в 5-значных числах

Мы видели использование запятых в четырехзначных числах, причем запятая располагалась слева от разряда сотен.В 5-значном числе также должна использоваться только одна запятая, и ее следует ставить слева от разряда сотен. Например, 5-значные числа 32958 и 20340 лучше выразить как 32 958 и 20 340, что помогает правильно читать числа.

Сколько 5-значных чисел можно образовать?

Как мы уже говорили ранее, 02340 — это не пятизначное число, а четырехзначное число 2340. Пятизначное число не может иметь 0 в качестве первой цифры слева, которая является десятичным разрядом.В целом, каждое из 5 знаков 5-значного числа может быть заполнено десятью способами, потому что оно может содержать 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Таким образом, каждое из пять мест могут быть заполнены аналогичным образом десятью способами. Следовательно, общее количество возможных комбинаций составляет 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1,00,000.

Из этих 100000 способов образования 5-значного числа нам нужно исключить все возможности, у которых в первой позиции слева находится ноль (или десятиитысячный разряд). Когда первое место равно нулю, следующая позиция (тысячи) может быть заполнена десятью способами, как и позиции сотен, десятков и единиц.Итак, количество 5-значных чисел с нулем в качестве первой цифры составляет 10 × 10 × 10 × 10 = 10000. Если мы вычтем эти 10 000 способов из общих 100 000 способов, у нас останется 90 000. Следовательно, возможны 90 000 уникальных 5-значных чисел.

Важные примечания к номерам до 5 цифр

Вот список некоторых важных примечаний, касающихся чисел до 5 цифр. Они полезны при решении вопросов, связанных с этой темой.

• Как следует из названия, пятизначное число обязательно должно состоять из пяти цифр.
• Наименьшее 5-значное число — 10 000, а наибольшее 5-значное число — 99 999.
• Всего 90 000 пятизначных чисел.
• Цифра в разряде десяти тысяч в 5-значном числе никогда не может быть 0.

Закон Бенфорда — естественное предпочтение цифры «1»

Числа, мы видим их повсюду. Например, на изображении в начале этой статьи есть много чисел, но двое мужчин показали, что больший процент этих чисел, чем ожидалось, будет начинаться с «1».

Как это возможно? В 1881 году канадско-американский астроном Саймон Ньюкомб сделал интересное наблюдение. Он отметил, что страницы в книге таблиц логарифмов, начинающиеся с цифры «1», были изношены больше, чем другие страницы.

СМОТРИ ТАКЖЕ: ПАРА ИСПОЛЬЗУЕТ ОДИН НОМЕР 26 ЛЕТ, НАКОНЕЦ ВЫИГРЫВАЕТ ЛОТЕРЕЮ

В 1938 году американский инженер-электрик Фрэнк Бенфорд проверил идею Ньюкомба на более чем 20 различных наборах данных, которые включали: площади поверхности 335 рек, 3,259 U.Популяции S., 104 физических констант, 1800 молекулярных масс, 418 показателей смертности и даже 308 чисел, содержащихся в выпуске Reader’s Digest . Он опубликовал свои выводы в статье под названием «Закон аномальных чисел».

Закон Бенфорда

Закон Бенфорда, также известный как закон Ньюкома-Бенфорда, описывает частотное распределение ведущих цифр чисел в наборах чисел.В нем указано, что число «1» появляется как первая цифра или ведущая значащая цифра, примерно 30% случаев, число «2» появляется как первая цифра 17,6% случаев, вплоть до числа «9», которая появляется как первая цифра меньше, чем 5% случаев.

Распределение первой цифры частоты. Источник: Gknor / Wikimedia Commons

Если бы каждое число от «1» до «9» с равным шансом появилось как первая цифра числа, каждое из них появилось бы как 11.1% случаев.

Закон Бенфорда применяется только к наборам чисел, которые охватывают несколько порядков величины и , которые являются безразмерными , а не , поэтому числовые значения данных зависят от единиц. Если вы помните математику в средней школе, порядок величины — это логарифм числа, обычно имеющий основание десять, и его можно выразить следующим образом:
1 = 1 x 10 ⁰
10 = 1 x 10 ¹
100 = 1 x 10 ²
1000 = 1 x 10 ³ и т. Д.

Итак, к каким наборам данных может применяться закон Бенфорда? Он применяется к уличным адресам, числам Фибоначчи , счетам за электричество, ценам на акции, факториалам , ценам на дома, численности населения, уровням смертности, степеням двойки, длине рек, а также физическим и математическим константам.

Числа Фибоначчи образуются путем сложения двух последовательных чисел, начинающихся с «0»
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …
0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, 5 + 3 = 8
Факториалы, записанные как n! — это произведение всех положительных целых чисел, которые меньше или равны n .Например,
5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120 .

Физические константы включают c , скорость света в вакууме, или 186 282 ( 299 792 k ) миль в секунду , ч , постоянную Планка, или, 6,62607015 × 10 ⁻³⁴ , G , ньютоновская постоянная гравитации, или 6,674 × 10 ⁻¹¹ м ³ x кг ⁻¹ xs ⁻² и e, элементарный заряд, или 1.602176634 × 10 ⁻¹⁹ Кулоны .

Физические константы соответствуют закону Бенфорда. Источник: Drnathanfurious / Wikimedia Commons

В логарифмической шкале вероятность того, что число будет первой цифрой, пропорциональна интервалу между числами на шкале. Интервал между записью числа «.1» и записью числа «.2» намного шире, чем интервал между записью числа «.8» и записью числа «.9». И то же самое верно, и интервалы одинаковы для чисел «1» и «2», «10» и «20», «100» и «200», а также для чисел «8» и «9». »,« 80 »и« 90 »и« 800 »и« 900 ».

Равные интервалы по логарифмической шкале. Источник: Марсия Вендорф

Следовательно, любое случайное число с гораздо большей вероятностью попадет в более широкие интервалы, чем в более узкие. Примечательно, что это работает независимо от того, используем ли мы логарифмическую шкалу с основанием 10 или любое другое основание больше, чем основание 2.

Числа, выраженные в базе 2, называются двоичными числами . Они всегда начинаются с цифры «1» и включают только «1» и «0». Вы, вероятно, узнаете в них числа, используемые компьютерами.

Десятичные числа и их двоичные эквиваленты. Источник: Марсия Вендорф

Наборы данных, соответствующие закону Бенфорда

Хотя цены на фондовом рынке очень точно соответствуют закону Бенфорда, наборы чисел в пределах одного порядка — нет. Например, рост взрослых, у которых будет начальная цифра «4», «5», «6» или, возможно, даже «7», и оценки IQ в диапазоне от 70 до 130 или выше, вряд ли будут соответствовать закону Бенфорда.

Высота застройки.Источник: Wikimedia Commons

Однако, если мы посмотрим на высоту 58 самых высоких построек в мире, «1» в подавляющем большинстве случаев является самой распространенной ведущей цифрой независимо от единицы измерения. Это означает, что не имеет значения, измеряем ли мы высоту конструкции в метрах, ярдах, футах, дюймах или сантиметрах, «1» все равно выигрывает.

Когда набор данных инвариант масштаба , то есть он не зависит от единиц, в которых выражены данные, распределение первых цифр всегда соответствует закону Бенфорда.

Население по странам. Источник: Wikimedia Commons

Если мы посмотрим на население 150 самых густонаселенных стран мира, угадайте, какая ведущая цифра снова выигрывает, цифра «1».

Использование закона Бенфорда

В 1972 году экономист Хэл Вариан, который сейчас является главным экономистом Google, предложил использовать закон Бенфорда для обнаружения фальсификации экономических данных. Ходят слухи, что Налоговая служба (IRS) использует закон Бенфорда для анализа налоговых деклараций, а закон Бенфорда даже был принят в уголовных делах на федеральном, государственном и местном уровнях.

После введения евро в 2002 году закон Бенфорда был применен к ценам на товары, которые необходимо было конвертировать из различных валют в евро. В то время как первые цифры новых цен в евро соответствовали закону Бенфорда, вторая и третья цифры — нет, и это подтвердило, что существует сложность конвертации цен в новую валюту.

Недавно исследователи применили закон Бенфорда к ежедневному количеству случаев COVID-19 и смертей, о которых сообщают несколько округов.Хотя цифры из США, Бразилии, Индии, Перу, Южной Африки, Колумбии, Мексики, Испании, Аргентины, Чили, Великобритании, Франции, Саудовской Аравии, Китая, Филиппин, Бельгии, Пакистана и Италии соответствуют закону Бенфорда, цифры из России и Ирана нет.

Недавно журнал Physics World сообщил, что анализ голосов на выборах 2020 года с использованием закона Бенфорда не обнаружил нарушений в подсчете голосов в округе Фултон, Джорджия, округе Аллегейни, Пенсильвания, Милуоки, Висконсин, и Чикаго, Иллинойс.

Если вы хотите самостоятельно подтвердить закон Бенфорда, на изображении в верхней части экрана попробуйте сравнить числа, в которых первая цифра «1», с числами, имеющими другие ведущие цифры. Угадай, кто победит.

Раздел 3a.jnt

% PDF-1.6
%
73 0 объект
>
эндобдж
70 0 объект
> поток
PScript5.dll Версия 5.2.22010-09-20T14: 01: 07-04: 002010-09-20T13: 59: 57-04: 002010-09-20T14: 01: 07-04: 00application / pdf

Акробат Дистиллятор 8.1.0 (Windows) uuid: b87c9f04-632a-4f8d-bb40-6998c0c4c760uuid: cd3ef6b9-0c40-40da-84fa-aa0965574078

конечный поток
эндобдж
90 0 объект
> / Кодировка >>>>>
эндобдж
67 0 объект
>
эндобдж
68 0 объект
>
эндобдж
69 0 объект
>
эндобдж
28 0 объект
>
эндобдж
31 0 объект
>
эндобдж
34 0 объект
>
эндобдж
37 0 объект
>
эндобдж
40 0 объект
>
эндобдж
51 0 объект
>
эндобдж
53 0 объект
> поток
h ެ {;% ߿3 \ ހ d
i = IѬU * 2Ƙ {NH $ O p ~ ׯ ^ _} ^? r / z%> ʥ #>] _} Ǘ?  * / _û + e ߝ
_ | y g%? _ 翿 O x_ p ܕ; oO? _ ^? oЂCŸ _? «OkKSx ^ ۏ wO w! k> | I * ~ r] 9Wq ܢ? u? | W? ˏ ~ ϕ

Алгоритм

— Сортировка 1 миллиона 8-значных десятичных чисел с 1 МБ ОЗУ

Решение возможно только из-за разницы между 1 мегабайтом и 1 миллионом байт.Существует около 2 различных способов выбора 1 миллиона 8-значных чисел с разрешенными дубликатами и неважным порядком, поэтому машина с 1 миллионом байтов ОЗУ не имеет достаточного количества состояний для представления всех возможностей. Но 1M (меньше 2k для TCP / IP) составляет 1022 * 1024 * 8 = 8372224 бит, поэтому решение возможно.

Часть 1, начальное решение

Для этого подхода требуется чуть больше 1M, я доработаю его, чтобы вписать в 1M позже.

Я сохраню компактный отсортированный список чисел в диапазоне от 0 до 99999999 как последовательность подсписок 7-битных чисел.Первый подсписок содержит числа от 0 до 127, второй подсписок содержит числа от 128 до 255 и т. Д. 100000000/128 равно 781250, поэтому потребуется 781250 таких подсписок.

Каждый подсписок состоит из 2-битного заголовка подсписка, за которым следует тело подсписка. Тело подсписка занимает 7 бит на запись подсписка. Все подсписки объединены вместе, и формат позволяет определить, где заканчивается один подсписок и начинается следующий. Общий объем памяти, необходимый для полностью заполненного списка, составляет 2 * 781250 + 7 * 1000000 = 8562500 бит, что примерно равно 1.021 М-байт.

4 возможных значения заголовка подсписка:

00 Пустой подсписок, ничего не следует.

01 Синглтон, в подсписке только одна запись, и следующие 7 бит содержат ее.

10 Подсписок содержит как минимум 2 различных числа. Записи хранятся в неубывающем порядке, за исключением того, что последняя запись меньше первой или равна ей. Это позволяет определить конец подсписка. Например, числа 2,4,6 будут сохранены как (4,6,2).Числа 2,2,3,4,4 будут сохранены как (2,3,4,4,2).

11 Подсписок содержит 2 или более повторения одного номера. Следующие 7 бит дают номер. Затем следует ноль или более 7-битных записей со значением 1, за которыми следует 7-битная запись со значением 0. Длина тела подсписка определяет количество повторений. Например, числа 12,12 будут сохранены как (12,0), числа 12,12,12 будут сохранены как (12,1,0), 12,12,12,12 будут сохранены как (12,1 , 1,0) и так далее.

Я начинаю с пустого списка, читаю в нем кучу чисел и сохраняю их как 32-битные целые числа, сортирую новые числа на месте (возможно, используя heapsort), а затем объединяю их в новый компактный отсортированный список.Повторяйте до тех пор, пока не закончатся числа для чтения, затем еще раз пройдитесь по компактному списку, чтобы сгенерировать результат.

Строка ниже представляет память непосредственно перед началом операции слияния списка. «О» — это область, в которой хранятся отсортированные 32-битные целые числа. «X» — это регион, в котором хранится старый компактный список. Знаки «=» — это пространство для расширения компактного списка, 7 бит для каждого целого числа в «О». «Z» — это другие случайные накладные расходы.

  ZZZOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO ========== XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
  

Подпрограмма слияния начинает чтение с крайнего левого «O» и с крайнего левого «X», и начинает запись с крайнего левого символа «=».Указатель записи не улавливает указатель чтения компактного списка до тех пор, пока все новые целые числа не будут объединены, потому что оба указателя продвигают 2 бита для каждого подсписка и 7 бит для каждой записи в старом компактном списке, и есть достаточно дополнительного места для 7-битные записи для новых номеров.

Часть 2, запихивая в 1M

Чтобы сжать вышеприведенное решение до 1M, мне нужно сделать формат компактного списка немного более компактным. Я избавлюсь от одного из типов подсписок, так что будет только 3 различных возможных значения заголовка подсписка.Затем я могу использовать «00», «01» и «1» в качестве значений заголовка подсписка и сэкономить несколько бит. Типы подсписок:

Пустой подсписок, ничего не следует.

B Singleton, в подсписке только одна запись, и следующие 7 бит содержат ее.

C Подсписок содержит как минимум 2 различных числа. Записи хранятся в неубывающем порядке, за исключением того, что последняя запись меньше первой или равна ей. Это позволяет определить конец подсписка. Например, числа 2,4,6 будут сохранены как (4,6,2).Числа 2,2,3,4,4 будут сохранены как (2,3,4,4,2).

D Подсписок состоит из 2 или более повторений одного номера.

Мои 3 значения заголовка подсписка будут «A», «B» и «C», поэтому мне нужен способ представления подсписок D-типа.

Предположим, у меня есть заголовок подсписка типа C, за которым следуют 3 записи, например «C [17] [101] [58]». Это не может быть частью действительного подсписка C-типа, как описано выше, поскольку третья запись меньше второй, но больше первой. Я могу использовать этот тип конструкции для представления подсписка D-типа.Проще говоря, везде, где у меня есть «C {00 ?????} {1 ??????} {01 ?????}», это невозможный подсписок C-типа. Я буду использовать это для представления подсписка, состоящего из 3 или более повторений одного числа. Первые два 7-битных слова кодируют число (биты «N» ниже), за ними следует ноль или более слов {0100001}, за которыми следует слово {0100000}.

  Например, 3 повтора: «C {00NNNNN} {1NN0000} {0100000}», 4 повтора: «C {00NNNNN} {1NN0000} {0100001} {0100000}» и т. Д.
  

Остались списки, содержащие ровно 2 повторения одного числа.Я представлю те, у кого другой невозможный шаблон подсписка C-типа: «C {0 ??????} {11 ?????} {10 ?????}». В первых двух словах достаточно места для 7 бит числа, но этот шаблон длиннее, чем представляемый им подсписок, что немного усложняет ситуацию. Пять вопросительных знаков в конце можно считать не частью шаблона, поэтому у меня есть: «C {0NNNNNN} {11N ????} 10» в качестве шаблона, а число, которое нужно повторить, сохранено в «N «с. Это на 2 бита больше, чем нужно.

Мне придется занять 2 бита и вернуть их из 4 неиспользованных битов в этом шаблоне.При чтении, обнаружив «C {0NNNNNN} {11N00AB} 10», выведите 2 экземпляра числа в «N», замените «10» в конце битами A и B и перемотайте указатель чтения на 2 биты. Деструктивное чтение подходит для этого алгоритма, поскольку каждый компактный список проходит только один раз.

При записи подсписка из 2 повторов одного числа, напишите «C {0NNNNN} 11N00» и установите счетчик заимствованных битов на 2. При каждой записи, когда счетчик заимствованных битов не равен нулю, он уменьшается на каждый записанный бит. и «10» записывается, когда счетчик достигает нуля.Таким образом, следующие 2 записанных бита войдут в слоты A и B, а затем цифра «10» будет сброшена в конец.

С 3 значениями заголовка подсписка, представленными «00», «01» и «1», я могу присвоить «1» наиболее популярному типу подсписка. Мне понадобится небольшая таблица для сопоставления значений заголовков подсписок с типами подсписок, и мне понадобится счетчик вхождений для каждого типа подсписок, чтобы я знал, какое отображение заголовков подсписок лучше всего.

Наихудшее минимальное представление полностью заполненного компактного списка происходит, когда все типы подсписок одинаково популярны.В этом случае я сохраняю 1 бит на каждые 3 заголовка подсписка, поэтому размер списка составляет 2 * 781250 + 7 * 1000000 — 781250/3 = 8302083,3 бит. Округление до 32-битной границы слова, это 8302112 бит или 1037764 байта.

1M минус 2k для состояния TCP / IP и буферов составляет 1022 * 1024 = 1046528 байтов, что оставляет мне 8764 байта для игры.

А как насчет процесса изменения отображения заголовка подсписка? На карте памяти ниже «Z» — это случайные накладные расходы, «=» — свободное пространство, «X» — это компактный список.

  ZZZ ===== XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
  

Начните чтение с крайнего левого символа «X» и начните запись с крайнего левого символа «=» и работайте вправо. Когда это будет сделано, компактный список будет немного короче и окажется не на том конце памяти:

  ZZZXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX =======
  

Значит, мне нужно шунтировать вправо:

  ZZZ ======= XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
  

В процессе изменения отображения заголовков до 1/3 заголовков подсписок будут изменены с 1-битного на 2-битный.В худшем случае все они будут во главе списка, поэтому мне понадобится как минимум 781250/3 бит свободного хранилища, прежде чем я начну, что вернет меня к требованиям к памяти предыдущей версии компактного списка: (

Чтобы обойти это, я разделю подсписки 781250 на 10 групп подсписок по 78125 подсписок в каждой. Каждая группа имеет собственное независимое сопоставление заголовков подсписок. Использование букв от A до J для групп:

  ZZZ ===== AAAAAABBCCCCDDDDDEEEFFFGGGGGGGGGGGHHIJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
  

Каждая группа подсписок сжимается или остается неизменной во время изменения сопоставления заголовка подсписка:

  ZZZ ===== AAAAAABBCCCCDDDDDEEEFFFGGGGGGGGGGGHHIJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
ZZZAAAAAA ===== BBCCCCDDDDDEEEFFFGGGGGGGGGGGHHIJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
ZZZAAAAAABB ===== CCCCDDDDDEEEFFFGGGGGGGGGGGHHIJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
ZZZAAAAABBCCC ====== DDDDDEEEFFFGGGGGGGGGGGHHIJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
ZZZAAAAABBCCCDDDDD ====== EEEFFFGGGGGGGGGGGHHIJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
ZZZAAAAABBCCCDDDDDEEE ====== FFFGGGGGGGGGGGHHIJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
ZZZAAAAABBCCCDDDDDEEEFFF ====== GGGGGGGGGGGHHIJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
ZZZAAAAABBCCCDDDDDEEEFFFGGGGGGGGGG ======= HHIJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
ZZZAAAAABBCCCDDDDDEEEFFFGGGGGGGGGGHH ======= IJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
ZZZAAAAABBCCCDDDDDEEEFFFGGGGGGGGGGHHI ======= JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
ZZZAAAAABBCCCDDDDDEEEFFFGGGGGGGGGGHHIJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ =======
ZZZ ======= AAAAAABBCCCDDDDDEEEFFFGGGGGGGGGGHHIJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
  

В наихудшем случае временное расширение группы подсписок во время изменения отображения составляет 78125/3 = 26042 бит, меньше 4k.Если я разрешаю 4k плюс 1037764 байта для полностью заполненного компактного списка, у меня остается 8764-4096 = 4668 байтов для «Z» в карте памяти.

Этого должно быть достаточно для 10 таблиц сопоставления заголовков подсписок, 30 счетчиков вхождений заголовков подсписок и других нескольких счетчиков, указателей и небольших буферов, которые мне понадобятся, и места, которое я использовал незаметно, например, пространство стека для адресов возврата вызова функций и локальные переменные.

Часть 3, сколько времени потребуется для запуска?

При пустом компактном списке 1-битный заголовок списка будет использоваться для пустого подсписка, а начальный размер списка будет 781250 бит.В худшем случае список увеличивается на 8 бит для каждого добавляемого числа, поэтому для каждого из 32-битных чисел необходимо 32 + 8 = 40 бит свободного пространства, которое будет помещено в верхнюю часть буфера списка, а затем отсортировано и объединено. В худшем случае изменение отображения заголовка подсписка приводит к использованию пространства 2 * 781250 + 7 * записей — 781250/3 бит.